等比数列的前n项和求等比数列的前 nnn 项和是数列研究中的重要问题。与等差数列不同，等比数列的求和公式需要分情况讨论。
棋盘上的米粒让我们回到开篇提到的故事：在国际象棋的64格棋盘上，第一格放1粒米，第二格放2粒，第三格放4粒……每格都是前一格的2倍。
这形成了一个等比数列：1,2,4,8,16,…,2631, 2, 4, 8, 16, \ldots, 2^{63}1,2,4,8,16,…,263
总共需要多少粒米？即求：
S64=1+2+4+8+⋯+263S_{64} = 1 + 2 + 4 + 8 + \cdots + 2^{63}S64=1+2+4+8+⋯+263
如何计算这个和？让我们来推导等比数列的求和公式。
公式推导设等比数列 {an}\{a_n\}{an} 的前 nnn 项和为 SnS_nSn，首项为 a1a_1a1，公比为 qqq。
情况一：q=1q = 1q=1当 q=1q = 1q=1 时，数列为常数列：a1,a1,a1,…a_1, a_1, a_1, \ldotsa1,a1,a1,…
此时：
数学公式
公式是数学中表达数量关系、结构规律的符号表达式，是解决数学问题的重要工具。重要结论公式应熟练掌握和灵活应用。
等比数列前n项和（q=1时）Sn=na1S_n = na_1Sn=na1情况二：q≠1q \neq 1q=1当 q≠1q \neq 1q=1 时，使用”乘公比再相减”的方法：
Sn=a1+a1q+a1q2+⋯+a1qn−1S_n = a_1 + a_1 q + a_1 q^2 + \cdots + a_1 q^{n-1}Sn=a1+a1q+a1q2+⋯+a1qn−1
两边同时乘以 qqq：
qSn=a1q+a1q2+a1q3+⋯+a1qnqS_n = a_1 q + a_1 q^2 + a_1 q^3 + \cdots + a_1 q^nqSn=a1q+a1q2+a1q3+⋯+a1qn
两式相减（下式减上式）：
qSn−Sn=a1qn−a1Sn(q−1)=a1(qn−1)Sn=a1(qn−1)q−1\begin{aligned} qS_n - S_n &= a_1 q^n - a_1 \\ S_n(q - 1) &= a_1(q^n - 1) \\ S_n &= \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1} \end{aligned}qSn−SnSn(q−1)Sn=a1qn−a1=a1(qn−1)=q−1a1(qn−1)也可以写成：
Sn=a1(1−qn)1−qS_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}Sn=1−qa1(1−qn)
数学公式
公式是数学中表达数量关系、结构规律的符号表达式，是解决数学问题的重要工具。重要结论公式应熟练掌握和灵活应用。
等比数列前n项和（q≠1时）Sn=a1(1−qn)1−q=a1(qn−1)q−1S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}Sn=1−qa1(1−qn)=q−1a1(qn−1)SnS_nSn：等比数列前 nnn 项的和，即 a1+a2+⋯+ana_1 + a_2 + \cdots + a_na1+a2+⋯+an。
两种形式的求和公式有什么区别？两个公式本质相同，只是形式不同：
形式一 Sn=a1(1−qn)1−qS_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}Sn=1−qa1(1−qn)：当 0
记忆技巧：分子分母的符号要一致——都是”大减小”或都是”小减大”。
棋盘问题的答案现在我们可以计算棋盘上的米粒总数了：
S64=1×(264−1)2−1=264−1≈1.84×1019\begin{aligned} S_{64} &= \frac{1 \times (2^{64} - 1)}{2 - 1} \\ &= 2^{64} - 1 \\ &\approx 1.84 \times 10^{19} \end{aligned}S64=2−11×(264−1)=264−1≈1.84×1019这个数字大约是18,446,744,073,709,551,615粒！
如果每粒米重0.02克，总重量约为：3.69×10143.69 \times 10^{14}3.69×1014 千克，相当于3690亿吨——远超全球年粮食产量！
应用示例示例1：使用求和公式求等比数列 2,6,18,54,…2, 6, 18, 54, \ldots2,6,18,54,… 的前6项的和。
解：
已知 a1=2a_1 = 2a1=2，q=3q = 3q=3，n=6n = 6n=6。
使用公式（q>1q > 1q>1 用第二种形式）：
S6=2×(36−1)3−1=2×(729−1)2=2×7282=728S_6 = \frac{2 \times (3^6 - 1)}{3 - 1} = \frac{2 \times (729 - 1)}{2} = \frac{2 \times 728}{2} = 728S6=3−12×(36−1)=22×(729−1)=22×728=728
示例2：已知和求项数等比数列 {an}\{a_n\}{an} 中，a1=1a_1 = 1a1=1，q=2q = 2q=2，若前 nnn 项和 Sn=127S_n = 127Sn=127，求 nnn。
解：
Sn=1×(2n−1)2−1=2n−1=127S_n = \frac{1 \times (2^n - 1)}{2 - 1} = 2^n - 1 = 127Sn=2−11×(2n−1)=2n−1=127
2n=128=272^n = 128 = 2^72n=128=27
n=7n = 7n=7
示例3：无穷递缩等比数列的和当 ∣q∣<1|q| < 1∣q∣<1 时，随着 nnn 增大，qnq^nqn 趋于0，此时前 nnn 项和趋于一个极限值：
limn→∞Sn=limn→∞a1(1−qn)1−q=a11−q\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{a_1}{1 - q}limn→∞Sn=limn→∞1−qa1(1−qn)=1−qa1
例：求 12+14+18+116+⋯\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots21+41+81+161+⋯ 的和。
这是首项 a1=12a_1 = \frac{1}{2}a1=21，公比 q=12q = \frac{1}{2}q=21 的无穷等比数列。
S=121−12=1212=1S = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1S=1−2121=2121=1
练习题练习 1求等比数列 1,3,9,27,…1, 3, 9, 27, \ldots1,3,9,27,… 的前8项的和。
参考答案 (2 个标签)等比数列 前n项和解题思路：确定首项、公比，使用求和公式。
详细步骤：
已知 a1=1a_1 = 1a1=1，q=3q = 3q=3，n=8n = 8n=8。
S8=1×(38−1)3−1=6561−12=65602=3280S_8 = \frac{1 \times (3^8 - 1)}{3 - 1} = \frac{6561 - 1}{2} = \frac{6560}{2} = 3280S8=3−11×(38−1)=26561−1=26560=3280
答案：S8=3280S_8 = 3280S8=3280
练习 2在等比数列 {an}\{a_n\}{an} 中，a1=64a_1 = 64a1=64，q=12q = \frac{1}{2}q=21，求前6项的和。
参考答案 (2 个标签)等比数列 前n项和解题思路：0 详细步骤： S6=64×(1−(12)6)1−12=64×(1−164)12=64×636412=6312=126S_6 = \frac{64 \times (1 - (\frac{1}{2})^6)}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{64 \times (1 - \frac{1}{64})}{\frac{1}{2}} = \frac{64 \times \frac{63}{64}}{\frac{1}{2}} = \frac{63}{\frac{1}{2}} = 126S6=1−2164×(1−(21)6)=2164×(1−641)=2164×6463=2163=126 答案：S6=126S_6 = 126S6=126 练习 3求无穷等比数列 1+13+19+127+⋯1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \cdots1+31+91+271+⋯ 的和。 参考答案 (2 个标签)等比数列 前n项和解题思路：这是无穷递缩等比数列，∣q∣<1|q| < 1∣q∣<1。 详细步骤： 首项 a1=1a_1 = 1a1=1，公比 q=13q = \frac{1}{3}q=31。 S=a11−q=11−13=123=32S = \frac{a_1}{1 - q} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}S=1−qa1=1−311=321=23 答案：S=32S = \frac{3}{2}S=23 练习 4改编自考研真题 等比数列 {an}\{a_n\}{an} 的前 nnn 项和为 SnS_nSn，已知 S3=7S_3 = 7S3=7，S6=63S_6 = 63S6=63，求公比 qqq。 参考答案 (2 个标签)等比数列 前n项和解题思路：利用等比数列求和公式建立方程。 详细步骤： 设公比为 qqq（q≠1q \neq 1q=1），则： {S3=a1(q3−1)q−1=7S6=a1(q6−1)q−1=63\begin{cases} S_3 = \frac{a_1(q^3 - 1)}{q - 1} = 7 \\ S_6 = \frac{a_1(q^6 - 1)}{q - 1} = 63 \end{cases}{S3=q−1a1(q3−1)=7S6=q−1a1(q6−1)=63两式相除： S6S3=q6−1q3−1=637=9\frac{S_6}{S_3} = \frac{q^6 - 1}{q^3 - 1} = \frac{63}{7} = 9S3S6=q3−1q6−1=763=9 因为 q6−1=(q3−1)(q3+1)q^6 - 1 = (q^3 - 1)(q^3 + 1)q6−1=(q3−1)(q3+1)，所以： (q3−1)(q3+1)q3−1=q3+1=9\frac{(q^3 - 1)(q^3 + 1)}{q^3 - 1} = q^3 + 1 = 9q3−1(q3−1)(q3+1)=q3+1=9 q3=8q^3 = 8q3=8 q=2q = 2q=2 答案：q=2q = 2q=2 总结本文出现的符号符号类型读音/说明在本文中的含义SnS_nSn求和符号S sub n等比数列前 nnn 项的和a1a_1a1元素符号a sub 1等比数列的首项qqq参数quotient等比数列的公比nnn变量n项数，正整数中英对照中文术语英文术语音标说明前n项和sum of first n terms/sʌm əv fɜːst en tɜːmz/数列前 nnn 项的总和无穷递缩等比数列infinite decreasing geometric series/ˈɪnfɪnət dɪˈkriːsɪŋ ˌdʒiːəˈmetrɪk ˈsɪəriːz/$极限limit/ˈlɪmɪt/数列趋于的值 上一章节 等比数列的通项公式下一章节 等比数列的性质 课程路线图1高等数学之函数探秘 先修课程函数是高等数学的核心概念，本系列文档系统介绍函数的基本概念、性质和应用。 前往课程 2数列 当前课程数列是高等数学的基石，本系列文档系统介绍数列的基本概念、性质、极限理论及其应用。 前往课程 进阶推荐概率论与数理统计 研究随机现象的规律，数据分析与推断的方法，掌握从数据中提取信息的科学。 开始学习 进阶推荐高等数学之极限的世界 极限是微积分的基础，也是高等数学中最重要的概念之一。 开始学习